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42 1 Anf¨ ange von Arithmetik und Algebra Wesentliche Inhalte der Algebra in Mesopotamien ≈ 3000 v. Chr. Sexagesimales Zahlensystem ≈ 2400 v. Chr. Rechentechnik: Multiplikationstafeln, Reziprokentafeln, Sexagesimales Positionssystem ≈ 1900–1600 Wichtige mathematische Texte (Altbabylonisches Reich) Lineare Gleichungen (ax = b), Methode (Hammurapi 1728–1686) des einfachen falschen Ansatzes, Quadratische Gleichungen der Gestalt = b, x2 + ax = b, x2 − ax √ N¨ aherungswerte von 2, Kubische Gleichungen der Form x3 = a, x3 + x2 = a, Lineare und spezielle nichtlineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, Berechnung pythagoreischer Zahlentripel (x, y, z) mit x2 + y 2 = z 2 , die binomischen Formeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2 539–330 persische Herrschaft Ein inneres L¨ uckenzeichen f¨ ur Null, einige mathematische Texte Auswirkungen Die Mesopotamische Mathematik u usse auf die griechische Ma¨ bte Einﬂ¨ thematik aus, m¨ oglicherweise schon auf Thales und die Pythagoreer, ebenso in hellenistischer Zeit auf Heron, Ptolemaios und insbesondere auf Diophant.

1) α + β = (30, 0)s Wird hingegen der Text Das Getreide u ¨ bertriﬀt das Getreide um (8, 20)s“ ge” deutet als der Unterschied der geernteten Getreidemengen betr¨agt (8, 20)s“, ” so sind zwei F¨ alle zu betrachten: (Fall 1) (20,0)s (30,0)s α − (15,0)s (30,0)s β >0 (Fall 2) (20,0)s (30,0)s α − (15,0)s (30,0)s β <0 Im Text wird nur der Fall 1 betrachtet, obwohl in beiden F¨allen positive rationale L¨ osungen auftreten; wir wollen sp¨ ater (s. C weiter unten) erkl¨aren, warum das so ist. 1) in zwei Unbekannten α und β betrachtet.

B. 38 = 4 · (10) − 2 = . Die ersten Texte u ¨ ber Multiplikation und Reziprokentafeln stammen aus der Zeit um 2000 v. Chr. Die Reziprokentafeln a1 benutzten die Babylonier als Hilfsmittel f¨ ur die Division, indem sie die Zahl b : a als b · a1 = ab berechneten. Sp¨ ater haben sie Tafeln f¨ ur Quadrate, Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und Potenzen sowie eine Tafel f¨ ur n2 + n3 erstellt. 3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra 29 Abb. 7. 2 Die Methode des einfachen falschen Ansatzes Die kulturelle Entwicklung im Zweistromland f¨ uhrte zwangsl¨auﬁg auch zur Entstehung einer Rechenkultur“ und zur Entwicklung mathematischer Me” thoden, die sich nicht nur in der Darstellung von Zahlen zur Addition und Subtraktion ersch¨ opfte.